聖闘士星矢 THE MOVIE Blu−ray BOX 1987〜2004【アニメ・特撮 Blu-贈り物ray Disc(ブルーレイ ディスク)】:ショッピングコロムビアファミリークラブ

スマートフォン用の表示で見る
スターをつけました

引用をストックしました

引用するにはまずログインしてください

muhmhfy.htmlmuhmhwd.htmlmuhmhy1.htmlmuhmhtx.htmlmuhmhrg.html 16-17 BURTON / バートン ION お買い得LEATHER アイオン レザー メンズ ブーツ スお歳暮ノーボード 取り寄せ商品 2017 型落ち:BREAKOUTmuhmhfy.htmlmuhmhwd.htmlmuhmhy1.htmlmuhmhtx.htmlmuhmhrg.html 【送料無料】素材の匠 泉州織 四方額シルク混綿毛布通販(毛羽部分) ST-15070(LOR-L1お歳暮196554)[ギフト・贈答品]:バリュー通販muhmhfy.htmlmuhmhwd.htmlmuhmhy1.htmlmuhmhtx.htmlmuhmhrg.html レバー SL-328 クラシック クローム GC玄関錠付 (SL-328-R-GC-クローム) 1組入贈り物 レバーハンドル(ドアノブ贈答品) シロクマSLレバー ケース錠:ビドーパル店muhmhfy.htmlmuhmhwd.htmlmuhmhy1.htmlmuhmhtx.htmlmuhmhrg.htmlmuhmhfy.htmlmuhmhwd.htmlmuhmhy1.htmlmuhmhtx.htmlmuhmhrg.html その他 ダイヤル式キーボックプレゼントス 60個収容 ds-1071296:ショッピング家電の安値屋本舗zaraファーコート 人気定番,お買い得 [041552S3n71HR 超激得 5] : 人気定番, 超激得champion 驚きの破格値,人気 [1 トップス455c15VO3602X] : 新作, 得価

引用をストックできませんでした。再度お試しください

限定公開記事のため引用できません。

読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる
【BEAMS】【マフラー】B321-贈答品53-007 ADDRESS V 125 アドレス S R-EVO チタンサイレンサー ビームス:アトラスダイレクトショップ 170044【中古】【ブルガリ】【BVLGARI】B-ZERO1 ナロー リング K18PG ♯50bvlgari 10号 1バンド ワンバンド 750 ピンクゴールド ビーゼロワン 指輪 通販アクセサリー ブランドジュエリー:一風騎士2号店 ビノイエ 品番 D1A-2109D33A(R・L) NODAの建材:住まコレプレゼント 店アジャスタブルビレットクラッチレバー ショーパーツト ブラック ACTIVE(アクティブ) GSX-R1000(07〜08年):バイク用品・パーツのゼロカスタム【nao】【エヌエーオー】【バイク用】リアフェンダー FRPブラック ZX10R 04-05【4RFB16】※納期2-3週間程度:バイ買い物クショップ はとやGOSEN(ゴーセン) テックガット16ロール TS6001W 送料無料!:生活雑貨のお店!Vie-UP通販 【カード決済OKエアコン】その他 SW 18-8 S型 角飾台 20インチ用 EBM-1348000【納期目安:追って連絡】:家電のタンタンショップ プラス ●ホンデックス HONDEX PS-511CN-W (西日本) 電源コード・架台セット 【まとめ送料割】:釣具のバスメイトインフィニティ通信販売 ウール 2015SS uhlsport-1000147-01 ファングマミズノシーネ アクアソフト HN WB:スミタスポーツ店 グレーチング一般側溝用 細目 本体寸法400×997×38mm 形式記号WOS-X40-738グレーチ通信販売ング本体・受枠セット:表札ポストグレーチングの通販売店 【8/31まで!PT20倍中】日本正規品 ショートボード用フィン FCS2 FIN エフシーエス2フィン JW - PG パフォーマンスグラス 3フィン トライフィン スラスター かっこいい かわいい おしゃれ 【あす楽対応】【火曜贈答品日発送不可】:マニアック 未使用【中古】未使用 K通信販売ENWOOD MDV-D403 彩速ナビ カーナビ ワンセグ O2180724:ReRe(安く買えるドットコム) 【BA-N016】SILギフトVER 925 ★ ダブルスカル(髑髏)アーチシルバーバングル/メンズ/レディース/【あす楽】:ヒルズファーム ◆フドーねまき2型 スリーシーズン パールブルー L◆介護用パジャマ・つなぎタイプ【smtb-s】パジャマ・寝巻き 介護用衣料品【RCP】:美お買い得の達人 新協和 バルコニー物干金物 縦収納・ポール型 【1本入り】 SK-700ESLP-SC ステンカラー:エクステリアのプロショップ通信販売 キロ 模造刀 加藤清正 拵お洒落え 模擬刀 美術刀 日本刀 名刀 刀 美術刀剣 刀剣 演劇 舞台 演者 コスプレ 鑑賞用 端午の節句 こどもの日 工芸品 日本製 国産 高級 コレクション インテリア イベント NEU-090:interior (インテリオール)O'NEILL オニール ウエットスーツ メンズ WF-4030 SUPER FREAK スーパーフリーク L/Sスプリング 3mm/2mmロングスリーブroialスプリング ロンスプ ウェットスーツ サーフィン 男性用 かっこいい かわいい おしゃれ 【あす楽対応】【火曜日発送不可】:マニアック 【送料無料・2-3営業日発送】BRIO トラベルレールセット 33512:風プレゼント来堂 店 【運賃見積り】【直送品】サカエ SAKAE 中量棚CW型 CWお歳暮-9163R:工具屋「まいど!」 MadBull XM203スリムグレネードランチャー (FDE) [MB-GL-XM203-TN][ガスガン][18歳以上]買い物:東京ミリタリーコレクション 【体圧分散マットレス】ナーシングラプレゼントッグ 二匹物 ◆ [NR-2P]:ピカットマート贈答品 【送料無料】額付き ART 10枚 コンセプトセット インテリア アート NEW DESIGN Concept Frame IND-60391 美工社 ウォールアート 壁掛け 額付きおしゃれ通販 【取寄品】【プレゼント】ベルコモン【結婚祝い】【引越し祝い/新築祝い/開業祝い】:雑貨&アートの通販店ベルコモン 盆提灯 門提灯 『 門提灯 丸収納飾り 絹二重 無地 木製 電気コード式 【家紋入代込】 』 14号 BCG-8-J054L[家紋入れ 代金込み] 絹 2017年 盆ちょうちん お盆 提灯 灯篭 盆灯篭 お供え 八女提灯:人形の丸富 ★ポイント最大7倍★【送料・組立・設置ギフトが無料】-(Z−WS021−VBKR)ワーキングスツールハイタイプ ブラック 株式会社東洋工芸kaf001982 -【お買い得商品】:【文具の月島堂】店PAUGHCO パウコ ハンドルバー HANDLEBAR,13” APE買い物 HANGR [0601-0539]:ウェビック 店販売ショッピング店 Gulliver 200 1/200 川崎C-1 第2輸送航空隊 第402飛行隊 50th 58-1007:グッドカンパニーお中元 【ポイント10倍】エレコム タブレット用Bluetooth(R)キーボード TK-FBP073BK:サイバーベイ SONY DT 3.5-6.3 18-200 SH00プレゼント08【中古】【買取王国】:買取王国 店 ナトリ Natori レディース インナー パジャマ【Shangri-La Gown】Black:フェル買い物マート オベーション エレアコ アコースティックギター Ovation Celebrity Elite Plus CE44P FKOA【送料無料】【人気のコストパフォーマンスモデル!】:MUSICLAND KEY -ショッピング楽器-ベレッツァ/Bellezza ダッシュマット M DM-H066A ホンダ/本田/HONDA モビリオスパイク GB1/2 2002年09月〜2008年05月:オートパーツ贈り物エージェンシー2号店 ALBITショッピング《アルビット》 PWS-2000 [AC/DC POWER SUPPLY UNIT]:Ikebe大阪プレミアム店 BODIS 交換用キャタライザーパイプ NINJA ZX10R(2011-通信販売) NINJA ZX-10R:バイクブロス支店 マスターコック抗菌カラー庖丁 洋出刃 MCDK−270 ピンク 6-0311-0423 5-0通販280-0423【厨房用品 調理器具 キッチン用品 キッチン 格安 特価 新品 販売 通販】[10P03Dec16]:厨房用品のプロショップ ナガヨ2017 SMITH スミス ゴーグル GOGGLE I/O BLACK/POLARIZED ROSE COPPER+BLUE SENSOR MIRROR ASIAN買い物 FIT:ACTIVE-BOARDM'S GRACY エムズグレイシー デニム ワンピース カタログ掲載 得価,品質保証 [505057n10707sZ] : 送 レディース料無料, 豊富 Dトラッカー125(D-TRACKER) リアフェンダー(フルカバード) カーボンケブラー(C/K) A-TECH(エーテック):バイク用品・パーツのお歳暮ゼロカスタムMTr贈り物T販売店 大見工業 大見 磁器タイル用ダイヤモンドカッター 50mm JT-50 JT-50:家電の安値屋本舗販売お歳暮店 GREEDY GWP-03 ナイロンオーバーパンツ(ブラック) サイズ:レディースS:バイクブロス支店 通信販売*パーパス[高木産業]*SC-110 増設リモコン 110シリーズ 湯量お知らせタイプ:給湯器とガスコンロのお店 JVCビクター(Victor) WM-P90買い物2/P970/P980/P772 対応充電器(チャージャー) WT-C63 WT-C62後継モデル:ドリームモバイル店 YONEX(ヨネックス)【VT-FB】フレームのみ通信販売 バドミントン ラケット ボルトリックFB:スポルティヴァ 1号店YZF-R1(02〜03年) スクリーン ダブルバブル ダークスモーク ゼログラビティ(ZERO GRA贈答品VITY):バイク用品・パーツのゼロカスタム 送料無料 ウォールナットを使用したお洒落なダオンラインショッピングイニングテーブルダイニング/食卓/テーブル二人掛けテーブル/EMT-2269BR-Ichi:アージュ輸入家具

なぜ再び数学するのか

ε と δ 〜 無限小の代理人

数学 解析学 εδ論法

どうも、佐野です。

月曜日から5日間、上海で開催された wsdm2015 というカンファレンスに参加していました。ウェブ検索とデータマイニングに関する最先端の話題に触れることができ、とても刺激になりました。

さて、今日は 論法についてです。

その昔、中国の唐の時代、雲門という禅僧が修行のためにあるお寺に入門しようとしたところ、三日連続で拒まれ、ついには追い出され際に門に足を挟まれて骨を折られてしまう(そしてなぜかそれによって悟りを開く)ということがあったそうなのですが、僕は数学の「入門」もこれに近いものがあるように思います。

大学における数学の入門書として名高い東大出版会の『解析入門』は『解析門前払い』という異名のつくほど難しく、高校で「俺、数学得意かも」と思っていた心はすぐさまへし折られてしまいます(しかもそれで悟りが開けるわけでもない)

特に門のすぐ先にいる イプシロン(デルタ)がどうにも掴みようがなく、一向に心を通わすことができないのです。

論法のはじまり

論法は、19世紀にコーシーワイエルシュトラスといった数学者によって完成された解析学の論法です。

17世紀、ニュートンライプニッツによって微積分学が作られ、リンゴの落下から天体の運動まで微積分を使った方程式で記述できるようになり、自然科学に革命が起こされました。18世紀においても解析学の発展は続いていくのですが、しかし徐々に根本的な問題が浮かび上がってくるようになります。

微積分学で使われる概念や操作の多くは極限によって定義されています。例えば「 が において連続である」とは、数式では:


と書き、これは「 が 限りなく に近づくとき、 も 限りなく に近づく」ということなのですが、これ自体では定義にならないのです。なぜなら「限りなく近づく」という操作ができたとすれば、その時点で「限りがあった」ということになって自己矛盾だからです。

「定義なんかしなくても、連続かどうかなんて見れば分かるだろ」と思われるかもしれませんが、例えばこんな関数:


はどうでしょう? が有理数のときだけピコンと になる関数です。例えば , です。

明らかに不連続な感じがしますが、「限りなく近づくと…」が定義であるとすれば、例えば なる有理数は を大きくすれば に限りなく近づいていき、その関数値は常に なので「 は において連続だ」…ということもできそうです。

このように定義が曖昧だと、その概念を含む主張は真偽が判定できないのです。特にそれが定理である場合には、その上にどんどんと曖昧な議論が重なっていくことになり、どこに誤謬があるかも分からずいずれはバランスを崩して破綻してしまうでしょう。

こういうことが問題として意識されるようになったのは、現実に間違った議論が起きるようになったということだけでなく、時代を経るつれ「数学とは何か」という考え方が変わってきたことにもあるんじゃないかと思います。

古くピタゴラスは「この世界は数でできている」と信じており、ガリレオやニュートンの時代にも数学は常に自然と共にあったものが、次第に「自然とは独立な概念的な創造物」としての様相を強めていき「明確な定義こそが議論の出発点である」という前提が受け入られていきます。

それまで「神の領域」であった無限や極限も「概念として定義」できるようでないと数学はその独立性を樹立することができない…そうして19世紀(産業革命や市民革命の時代でもある)に 論法が作り上げられ、解析学の基礎となったのです。

論法とは何か?

前置きが長くなりましたが(でないとこの先が唐突すぎて理解不能だからです)、早速 論法を使った 連続 の定義を見てみましょう:

は で連続である


うわ、これはキツい…
もう少し日本語っぽく書き下すとこうです:

「どんな に対しても、 を上手く取れば、 との距離が 未満のどんな も、 との距離が 未満の に移るようにできる」


分かったような分からないような…しかしこれは「関数が で繋がっている」という直観的なイメージとはかけ離れています。なぜこれで「連続」が定義できたことになるのでしょう?

論法を読み解く

まず「どんな…」とか「…を上手く取れば」とかを忘れて、 も も 小さな数 だと考えてください。また連続の定義は多変数の場合も同じなので、ここでは が平面の変換の場合を考えることにします(グラフで考えるよりも分かりやすいと思います)

定義式の後半の:


は、「 を中心とした半径 の円板は によって、 を中心とした半径 の円板の中に入る」ということです。

これは「 の近くの点は、 の近くに移る」というイメージと合っていますよね。でもこの「近さ」である と が無関係だと、 をどれだけ小さくとっても をもっと小さく取れば、 の円板の像は の円板からはみ出てしまいます。

従って先に「移り先の近さ 」で決めた上で「移り元の近さ 」を定める必要があり、これができるならばちゃんと「近くの点は近くに移る」と言えそうです。

そしてこの は どんなに小さく取ってもいい(もちろん はそれに応じて変わる)となっているので、イメージ通り「限りなく近く」ということができるのです!

というわけでもう一度定義式と共にその意味を吟じてみましょう:

は で連続である


数式が意味を持って語りかけてくる感じになりましたか?

なぜこれが「定義」になるのか?

以上の議論が正しそうだということは分かっても、単に「限りなく近づく」を難しく言い直してるだけな感じがします。なぜこれが「定義」として成立すると言えるのでしょう。

「何が定義であって定義でないのか」を言うには「定義とは何か」すなわち「定義の定義」が必要になりますが、数学においてはシンプルで、定義とは条件のことです。つまり「 は である」とは、 に関する条件 があって、「 が真となる を という」ということです。

論法では曖昧な主張がなく、どんな に対しても条件が成り立つか否かの二つになります。先ほどの例を見てみましょう:


これが において連続かどうか。適当に を取った上で、 を「 なる が となる 」ように取れるか見てみます。

の近くにはいくらでも無理数があるので( を考えればわかる)、どれだけ小さく を取ってもその範囲内に無理数 が取れてしまい、 で 未満に抑えることができません。従って は で連続ではない、となります。

他の有理数無理数についても同様で、 は定義域全体で不連続となります。

ではこれをちょっと変えて、


はどうでしょう? が有理数のときに ではなくその分母だけを返す関数です。例えば です。

これも明らかに不連続…と言いたいところですが、なんと有理数では不連続になるのに 無理数では連続 となるのです!

(小さな に対して、 がその範囲内に入るには の刻みを細かくしていけばよく、無理数 の近くでは細かな しか入らないように を小さく取ることができるからです。)

こういう例はイメージするのが難しいですが、「限りなく」のままでは判定不能だったものも 論法を使うことで厳密に連続・不連続が議論できるようになるのです!

いわば は自在に小さくなれる特殊能力を持った「無限小の代理人」で、 はその弟分みたいなものです。「どんな に対しても…」の先は も も「普通の数」として扱うことができるところがポイントです。


( を可愛く感じるように描いてみた)

無限大についても同様

同様に「無限大の代理人」をたてれば、無限大に関する極限も定義できるようになります。例えば:


この場合は が「無限大の代理人」で、いくらでも大きくなれる奴らです。

数列の極限も:


と定義できます(数列は自然数から実数への写像と見れば同じです)

このように「無限小・無限大の代理人」を立てることで極限を「定義」でき、論証においてはそれらを「普通の数」として扱うことができる…これが 論法の本質なのです。

muhmhfy.htmlmuhmhwd.htmlmuhmhy1.htmlmuhmhtx.htmlmuhmhrg.htmlmuhmhfy.htmlmuhmhwd.htmlmuhmhy1.htmlmuhmhtx.htmlmuhmhrg.html 大光通信販売電機 間接照明用器具 DSYギフト-4635WT:あかり通販muhmhfy.htmlmuhmhwd.htmlmuhmhy1.htmlmuhmhtx.htmlmuhmhrg.html 専用ツール ラスブロッカー用ガン linda-贈答品cz31-4119 横浜油脂ショッピング工業株式会社 Linda(リンダ):Star-Partsmuhmhfy.htmlmuhmhwd.htmlmuhmhy1.htmlmuhmhtx.htmlmuhmhrg.html 【カード決済OK】その他 UK アクオンラインショッピングリル チーズトレイセット EBM-3230500お中元【納期目安:追って連絡】:爆安!家電のでん太郎muhmhfy.htmlmuhmhwd.htmlmuhmhy1.htmlmuhmhtx.htmlmuhmhrg.html売り切りセール売り切りセール♡新品FRAY I.D 人気セール,品質保証 [5vS09343b11574] : 品質保証♡新品FRAY I.D 人気セ売り切りセール♡新品FRAY I.D 人気セール,品質保証 [5vS09343b11574] : 品質保証ール,品質保証 [5vS09343b11574] : 品質保証, 爆買いJリンドバーグ(J.LINDEBERG) M THERMAL VEST JL (メンズ半袖ベスト) 071-44072 019 【16秋冬】 (Men's):Victor買い物ia Golf 支店 【中古】NEC PC-VN370AS1JW:Joshinの中古PC J&Pテクノランド贈り物

まとめ

なかなか取っつきづらい 論法ですが、慣れれば「人間には扱えない無限の世界」を簡単な手続きで扱えるようにするための方法なんだと納得できると思います。こうして土台がガチッと固まったことで、その先も解析学は実・複素ともに華々しく発展していくのです。

次回もまた何か解析学の基礎の話をしようかなと思います。
それでは、また!

home0123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899